ریاضی یازدهم صفحه 141 - کار در کلاس 1
1 تابع f با ضابطه مقابل را در نظر می گیریم :
$f(x) = \begin{cases} 2x + 4 & x < -1 \\ x^2 - 1 & -1 \le x < 2 \\ -x + 5 & 2 < x < 5 \end{cases}$
الف) نمودار f را کامل کنید.
ب) دامنه و برد f را به دست آورید.
پ) پیوستگی تابع را روی بازه های $[-1, 1]$ و $(2, 5)$ و $[-2, 0]$ بررسی کنید.
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه 141 - کار در کلاس 1
هدف این تمرین تسلط بر رسم توابع چندضابطهای و تحلیل ویژگیهای بنیادی آنها مانند **دامنه**، **برد** و **پیوستگی** در بازههای مختلف است.
**گام اول: رسم نمودار (بخش الف)**
با توجه به ضابطههای داده شده در تصویر، نمودار را تکمیل میکنیم:
1. برای $x < -1$: خط $2x + 4$ را رسم میکنیم که تا نقطه توخالی $(-1, 2)$ ادامه دارد.
2. برای $-1 \le x < 2$: بخشی از سهمی $x^2 - 1$ را رسم میکنیم که از نقطه پر $(-1, 0)$ شروع شده و تا نقطه توخالی $(2, 3)$ ادامه مییابد.
3. برای $2 < x < 5$: خط $-x + 5$ را رسم میکنیم که از نقطه توخالی $(2, 3)$ شروع شده و تا نقطه توخالی $(5, 0)$ ادامه دارد.
**گام دوم: تعیین دامنه و برد (بخش ب)**
با بررسی محور $x$ها در تصویر:
**دامنه** تابع برابر است با مجموعه مقادیری که ضابطه دارند: $D_f = (-\infty, 2) \cup (2, 5)$.
نکته: عدد 2 در هیچکدام از بازهها علامت مساوی ندارد، پس در دامنه نیست.
با بررسی محور $y$ها در نمودار:
**برد** تابع برابر است با بازه $[ -1, +\infty )$.
زیرا سهمی تا مقدار $-1$ پایین میآید و خط سمت چپ تا مثبت بینهایت بالا میرود.
**گام سوم: بررسی پیوستگی (بخش پ)**
طبق تعاریف پیوستگی در بازه ها:
1. بازه $[-1, 1]$: در این بازه فقط ضابطه دوم ($x^2-1$) حاکم است که یک تابع چندجملهای و پیوسته است. پس در این بازه **پیوسته** است.
2. بازه $(2, 5)$: در این بازه فقط ضابطه سوم ($-x+5$) وجود دارد که خطی و پیوسته است. پس در این بازه نیز **پیوسته** است.
3. بازه $[-2, 0]$: این بازه شامل نقطه مرزی $x = -1$ است. در این نقطه مقدار تابع ($0$) با حد راست ($0$) برابر است اما با حد چپ ($2$) خیر. چون در $-1$ پرش داریم، تابع در این بازه **ناپیوسته** است.
**جمعبندی آموزشی:**
یاد گرفتیم که پیوستگی در یک بازه مستلزم پیوستگی در تکتک نقاط آن بازه و رعایت شرایط پیوستگی یکطرفه در نقاط مرزی است.
ریاضی یازدهم صفحه 141 - کار در کلاس 2
2 درباره تابع f کدام یک از گزاره های زیر درست و کدام نادرست است؟
الف) f روی بازه $(-\infty, -1]$ پیوسته است.
ب) f روی بازه $(-\infty, -1)$ پیوسته است.
پ) f روی بازه $[2, 5]$ پیوسته است.
ت) $\lim_{x \to 5} f(x) = 0$
ث) $\lim_{x \to 5^-} f(x) = 0$
ج) f روی بازه $(-2, 0)$ پیوسته است.
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه 141 - کار در کلاس 2
این تمرین به دقت در جزئیات **حدود بازهها** و تفاوت پیوستگی در بازههای باز و بسته میپردازد.
**تحلیل گزارهها:**
**الف) نادرست:** در نقطه $-1$، حد چپ برابر ۲ و مقدار تابع برابر ۰ است. چون حد چپ با مقدار تابع برابر نیست، پیوستگی چپ نداریم، پس روی بازه بسته در $-1$ پیوسته نیست.
**ب) درست:** در بازه باز $(-\infty, -1)$ فقط ضابطه خطی اول وجود دارد که همواره پیوسته است.
**پ) نادرست:** تابع در نقطه ۲ تعریف نشده است، بنابراین نمیتواند روی یک بازه بسته شامل ۲ پیوسته باشد.
**ت) نادرست:** در نقطه ۵ تابع تعریف نشده و فقط حد چپ دارد. حد دوطرفه (کلی) وجود ندارد.
**ث) درست:** با نزدیک شدن به ۵ از سمت چپ روی خط $-x+5$، حاصل $-5+5=0$ میشود.
**ج) نادرست:** این بازه شامل نقطه $-1$ است که در آن نمودار دچار گسستگی و پرش شده است.
**نکته آموزشی:** برای پیوستگی در بازه $[a, b]$، تابع باید در بازه باز $(a, b)$ پیوسته، در نقطه $a$ پیوستگی راست و در نقطه $b$ پیوستگی چپ داشته باشد.
**جمعبندی:**
تشخیص درستی این گزارهها به دانشآموز کمک میکند تا مرز بین وجود حد یکطرفه و پیوستگی در نقاط انتهایی بازه را درک کند.
